Chapitre 5

Mutuelles et quadripôles

 

5.0 - Mise en situation
5.1 - Loi de Coulomb
5.2 - Intensité du champ électrique E
5.3 - Loi de Faraday
5.4 - Mutuelles
5.5 - Mutuelles (fonction du temps et de l'espace)
5.6 - Circuit équivalent
5.7 - Quadripôle: circuit qui a quatre bornes
5.8 - Représentations mathématiques possibles d'un quadripôle
5.9 - Matrice des impédances et des admittances d'un quadripôle
5.10 - Exemple: Transformation T-p ou p-T
5.11 - Matrices hybrides d'un quadripôle
5.12 - Matrices de transmission d'un quadripôle
5.13 - Détermination de la matrice Z et de la matrice Y en électrotechnique
5.14 - Détermination expérimentale de l'angle de Z12 et de Z21
5.15 - Considérations pratiques pour les modèles d'électrotechnique
5.16 - Exercices


 

5.0 - Mise en situation 

Au chapitre 1 nous avons introduit les effets "faraday" et "coulomb" en proposant les relations V(t) = Ldi(t)/dt et V(t) = 1/Còi(t)dt. Les observations des chercheurs qui ont donné leur nom à ces effets sont plus complètes que ces énoncées mathématiques. En réalité, le paramètre L est une indication de la grandeur du champs magnétique produit par un courant alors que le paramètre C est une indication de la grandeur du champs électrique produit par une tension.

Sans présenter une discussion détaillée sur la théorie des champs magnétiques et électriques, nous introduirons la loi de Faraday et la loi de Coulomb par une approche aussi simple que possible.

 

 

5.1 - Loi de Coulomb

Si deux charges électriques Q1 et Q2 existent dans un espace déterminé, ces charges subissent une force d'attraction ou de répulsion qui peut être exprimée sous la forme suivante:

Q1 et Q2 = charges ponctuelles, i.e. qui sont concentrées en un point (unités: coulombs)(C)
D = distance entre les charges (unités: mètres)(m)
eo = permittivité du vide (unités: farads par mètre)(F/m)
eo = 8.854E-12

F = force (unités: newton)(N)
F est dans l'axe qui passe par les deux charges.
F tends à séparer les charges si elles sont de même signe et à les rapprocher si elles sont de signe contraire.

Dans notre illustration, les charges sont de même signe.

Si l'espace contient plusieurs charges,  la superposition permets de trouver la force totale sur une charge. Pour un cas où Q1 et Q2 sont de même signe alors que Q3 est de signe contraire F21 + F31 sera la force sur la charge 1 produite par les deux autres charges.

Dans l'espace tridimensionnelle, ces problèmes se solutionnent au moyen du calcul vectoriel.

L'électrotechnique moderne n'est pas basée sur la loi de Coulomb, mais les effets parasites de cet effet sur les circuits d'énergie seront quantifiés au moyen du modèle capacitif C (unités: farads )(F)

 

 

5.2 - Intensité du champ électrique E

Si la charge Q1 est de valeur unitaire, la force F21 s'appelle: Intensité du champ électrique E

La tension Vab est en réalité la sommation de l'intensité électrique sur un parcours défini et la capacité C sera le rapport Q/V

électricité statique

 

 

5.3 - Loi de Faraday

Soit le parcours formé par un cercle presque complet et un voltmètre.

Si l'on suppose que le parcours est composé d'un fil où l'effet joule est presque négligeable (de l'or), lorsqu'on fera circuler un courant constant le voltmètre indiquera zéro, alors que si l'on fait circuler un courant alternatif, le voltmètre indiquera une tension.

Ce sont les expériences de Chistian Œrsted (1777-1851), Michael Faraday (1791-1867) et Joseph Henry (1797-1878) qui découvrirent que:

un courant électrique produit un champ magnétique 
(une boussole se positionne dans ce champ si le courant est constant et pivotera sur elle-même si le courant est alternatif de très basse fréquence)

le déplacement d'un aimant dans un parcours fermé sur lui-même produira un courant dans ce parcours 
(un ampèremètre avec un zéro au centre de l'échelle mis dans le circuit indiquera une valeur 
seulement pendant le déplacement de l'aimant, et, suivant que l'on introduit ou que l'on retire l'aimant, l'ampèremètre ira soit d'un coté ou de l'autre du zéro) 

Il y a donc production de magnétisme par un courant et production d'un courant par le magnétisme.

Ces constatations sont contenues dans la LOI DE FARADAY

"Une variation du champ magnétique à l'intérieur d'un parcours fermé induit dans ce parcours une tension dont la grandeur est fonction du taux de changement du champ."

Comme corollaire à la loi de Faraday, il faut citer la loi de Lenz:
"La tension induite par la variation du champ magnétique est d'une polarité telle qu'elle fera circuler un courant qui produira un champ magnétique s'opposant au champ qui produit cette tension."

Cette LOI DE FARADAY est la base des machines modernes de conversion de l'énergie électrique. 

Le transformateur utilise une variation temporelle du champ magnétique pour convertir de l'énergie électrique d'une certaine tension à une tension différente.

Les moteurs et les générateurs utilisent une variation spatiale du champ magnétique pour convertir l'énergie électrique en énergie mécanique ou vice-versa.

 

 

5.4 - Mutuelles

Supposons que notre cercle contient un champ magnétique total que nous identifierons par y.

Supposons que ce champ est une fonction du temps y(t) car il est la conséquence du courant i(t) et si ce courant provient du réseau d'énergie, il est alternatif à 60 Hz.

Supposons que l'effet "joule" est présent mais que l'effet "coulomb" est négligeable la loi de Kirchhoff s'écrira:
V(t)= Ri(t)+ d/dt[y(t)] où
y est le flux magnétique total variant à l'intérieur du circuit.

Si  y(t) est définie comme Li(t)
    d/dt[y(t)] devient Ldi(t)/dt
    L = rapport de la grandeur du champ magnétique/au courant qui produit ce champ. 

Supposons maintenant que l'on place une autre cercle dessus celui que nous avons déjà considéré. Le champ magnétique produit par le courant i1(t) produira un flux magnétique y1(t) qui produira dans le cercle no 1 une tension induite d/dt[y1(t)]. y1(t) est définie comme L1i1(t) où
L1 inductance propre de la bobine no 1.

Le champ magnétique produit par le courant i2(t) produira un flux magnétique y12(t) qui produira dans le cercle no1 une tension induite d/dt[y12(t)]. y12(t) est définie comme M12i2(t) où
M12 inductance mutuelle de la bobine no 1
M12 = rapport de la grandeur du champ magnétique dans le cercle no 1/au courant du cercle no 2 qui produit ce champ. 

Le phénomène étant linéaire, la superposition s'applique et si les deux courants sont présents, le flux magnétique qui produira une tension dans un cercle sera la somme des deux effets. On peut alors écrire la somme des tensions ( effet "coulomb" négligeable):

Pour le cercle no 1

V1(t)= R1i1(t)+ d/dt[y1(t) + y12(t)] 

Pour le cercle no 2

V2(t)= R2i2(t)+ d/dt[y2(t) +y21(t)] 

Donc, lorsque deux circuits sont sujet à des variations d'un champ magnétique commun, l'interaction entre les deux circuits sera la base de la conversion électromécanique. Dans le langage des circuits électriques, nos deux équations deviennent:

V1(t)= R1i1(t)+ d/dt[y1(t) + y12(t)] 
V2(t)= R2i2(t)+ d/dt[y2(t) + y21(t)] 

Si l'on défini:

y1(t)/i1(t) = L1, inductance propre du circuit no 1
y2(t)/i2(t) = L2, inductance propre du circuit no 2
y12(t)/i2(t) = M12, inductance mutuelle du circuit no 1
y21(t)/i1(t) = M21, inductance mutuelle du circuit no 2
M12 = M21 = M pour les circuits linéaires bidirectionnels

alors

V1(t)= R1i1(t)+ L1di1(t)/dt + M di2(t)/dt 
V2(t)= M di1(t)/dt + R2i2(t)+ L2di2(t)/dt 

ce qui donne en régime sinusoïdal forcé:

où:
R1 = résistance (effet "joule") du cercle no 1
X1 = wL1 = réactance propre du cercle no 1 (effet "faraday" du courant i1 sur le cercle no 1) 
R2 = résistance (effet "joule") du cercle no 2
X2 = wL2 = réactance propre du cercle no 2 (effet "faraday" du courant i2 sur le cercle no 2) 
Xm = wMm = réactance mutuelle entre les cercles (effet "faraday"du courant i1 sur le cercle no 2 et du courant i2 sur le cercle no 1) 

La représentation ci-jointe donne les mêmes équations que plus haut. Ce modèle contient des sources dépendantes.

 

5.5 - Mutuelles (fonction du temps et de l'espace)

Notre discussion porte actuellement sur deux cercles qui sont en position fixe l'un par rapport à l'autre.

Supposons maintenant que le cercle no 1 est alimenté avec un courant constant i1cc; suivant les observations de Œrsted , il existe un champ magnétique constant  à l'intérieur du cercle no 1.

Si le cercle no 2 est fixe comme dans la discussion précédente, l'effet de ce champ constant sur le cercle no 2 sera nul.(il n'y a pas de variation du champ magnétique dans le cercle no 2)

Si je déplace le cercle no 2 dans une direction x ( vers la droite) le champ à l'intérieur du cercle no 2 passera d'une valeur constante à un valeur nulle lorsque le cercle no 2 sera éloigné du cercle no 1.

Pendant la transition la loi de FARADAY dit qu'il y aura une tension induite dans le cercle no 2 égale à la variation du flux magnétique à l'intérieur du cercle no 2.

Il y a donc deux possibilités de variation d'un champ magnétique à l'intérieure d'un parcours fermé:
en fonction du temps si les courants sont alternatifs 
en fonction du déplacement si les courants sont constants.

Pour bien se souvenir que la variation du champ peut provenir de deux causes, nous réécrivons les équations sous formes très générales:

Si le mouvement est en translation:

V1(t)= R1i1(t) + d/dt[y1(t,x) + y12(t,x)] 
V2(t)= R2i2(t) + d/dt[y2(t,x) + y21(t,x)] 

où:
y1(t,x)= L1(x) i1(t) 
y2(t,x)= L2(x) i2(t) 
y12(t,x) = M12(x)i2(t)
y21(t,x) = M21(x)i2(t)
M12=M21= M(x) pour les circuits linéaires bidirectionnels

Si le mouvement est en rotation

V1(t)= R1i1(t) + d/dt[y1(t,q) + y12(t,q)] 
V2(t)= R2i2(t) + d/dt[y2(t,q) + y21(t,q)] 

où:
y1(t,q) = L1(q) i1(t) 
y2(t,q) = L2(q) i2(t) 
y12(t,q) = M12(q)i2(t)
y21(t,q) = M21(q)i2(t)
M12 = M21= M(q) pour les circuits linéaires bidirectionnels

 

 

5.6 - Circuit équivalent

Les équations retenues:

peuvent aussi être représentées par le circuit équivalent suivant sans les sources dépendantes de l'article 5-4.

S.V.P. Utilisez les lois de Kirchhoff et vérifiez que ce circuit donne bien les équations retenues.

 

Est-ce que la méthode des mailles donnera le même résultat?

Les courants doivent être dans le même sens.
Les tensions sont positives si dans le même sens que les courants de mailles.
Les équations sont d'écriture automatique.

La méthode des mailles donne le même résultat.

 

 

5.7 - Quadripôle: circuit qui a quatre bornes

Lorsqu'un circuit passif a quatre bornes, les relations qui existent entre les quatre variables peuvent être exprimées de six façons différentes.

Représentation générale d'un quadripôle:

La notion de quadripôle est très générale et la prudence est de mise dans l'usage cette notion.

Les sources d'alimentation d'un quadripôle peuvent être aussi bien des sources de tension que de courant.

 

 

5.8 - Représentations mathématiques possibles d'un quadripôle

Comme il existe quatre variables aux bornes d'un quadripôle, une permutation des variables dépendantes et des variables indépendantes permet de construire six matrices comme illustré . Nous reprendrons ces matrices dans les pages qui suivent pour en discuter les propriétés et leur
utilité.

 

Cette forme de représentation est très utilisé en électrotechnique et sera représentée par des circuits en T ou en p.

Cette forme de représentation est utilisé pour représenter des transistors i.e. avec des sources dépendantes.

Cette forme de représentation est utilisé en télécommunication pour calculer les circuits raccordés en cascade.

 

 

5.9 - Matrice des impédances et des admittances d'un quadripôle

La matrice [Z] se calcule au moyen du concept de circuit ouvert et de la source de courant. On la nomme matrice des impédances en circuit ouvert.

Z11 = impédance d'entrée du dipôle si la sortie est en circuit ouvert.
Z12 = impédance de transfert inverse du dipôle si l'entrée est en circuit ouvert.
Z21 = impédance de transfert directe du dipôle si la sortie est en circuit ouvert.
Z22 = impédance de sortie du dipôle si l'entrée est en circuit ouvert.

La matrice [Y] se calcule au moyen du concept de court-circuit et de la source de tension. On la nomme matrice des admittances en court-circuit.

Y11 = admittance d'entrée du dipôle si la sortie est en court-circuit.
Y12 = admittance de transfert inverse du dipôle si l'entrée est en court-circuit.
Y21 = admittance de transfert directe du dipôle si la sortie est en court-circuit.
Y22 = admittance de sortie du dipôle si l'entrée est en court-circuit.

 

 

5.10-Exemple: Transformation T-p ou p-T 

Méthode générale

Soit les deux quadripôles illustrés:

Calculez les valeurs des admittances du circuit en p en fonction des impédances du circuit en T pour avoir deux quadripôles équivalents.

La matrice [Z] du circuit en T est:

La solution de ces équations donne:

La matrice [Y] du circuit en p est:
Utiliser la méthode des nœuds.

Pour satisfaire la condition d'égalité, il faut que les deux matrices soient identiques. Donc 

Ce qui permet de calculer les paramètres demandés.

 

Méthode par les définitions 

Soit les deux quadripôles illustrés:

Comme exercice, trouvez les autres matrices en fonction des paramètres Z au moyen des définitions qui suivent. 

 

 

5.11 - Matrices hybrides d'un quadripôle

Les matrices [H] et [G] se calcule au moyen du concept de circuit ouvert et du concept de court-circuit.

H11 : dimension d'impédance = 1/Y11
H12 : rapport inverse des tensions = Z12/Z22
H21 : rapport des courants en court-circuit = Y21/Y11
H22 : dimension d'admittance = 1/Z22

Modèle qui représente les paramètres H

                

Si on remplace le vecteur

La matrice [G] doit être l'inverse de la matrice [H] pour satisfaire l'identité.

 

 

5.12 - Matrices de transmission d'un quadripôle

Les matrices [T] et [T'] se calcule au moyen du concept de circuit ouvert, de la source de courant, de court-circuit et de la source de tension.

T11 : normalement désigné par la lettre A dans la littérature.
T12 : normalement désigné par la lettre B dans la littérature.
T21 : normalement désigné par la lettre C dans la littérature.
T22 : normalement désigné par la lettre D dans la littérature.

Si on remplace le vecteur

La matrice [T'] doit être l'inverse de la matrice [T] pour satisfaire l'identité.

 

 

5.13 - Détermination de la matrice Z et de la matrice Y en électrotechnique

Les équipements d'électrotechnique sont représentés par des modèles en T ou p et la compréhension des composantes implique que l'ingénieur peut mesurer le modèle qu'il désire utiliser pour analyser le système de distribution d'une entreprise.

Pour bien comprendre les concepts, proposons les mesures suivantes sur un quadripôle.

V1 et V2 sont des voltmètres à valeur efficace (voltmètre idéal, ne tire aucun courant)
I est un ampèremètre à valeur efficace (ampèremètre idéal, aucune chute de tension à ses bornes)
W est un wattmètre (wattmètre idéal, ne tire aucun courant: élément V, aucune chute de tension à ses bornes: élément A)

Nous avons mesuré des valeurs numériques et pourtant, les variables aux bornes du quadripôle sont des phaseurs que l'on aimerait connaître pour calculer les impédances du modèle en T

|Z11| = V1/I car I2 = 0
angle de Z11= acos(P/V1.A) i.e. acos(P/S)
et pour déterminer si Z11 est inductif ou capacitif, ajouter un condensateur temporairement aux bornes 11 et si I diminue, Z11 est inductif (probl. 3-5 et 3-6)

                       

|Z21| = V2/I car I2 = 0
angle de Z21 n'est pas aussi facile à calculer et nous y reviendrons plus loin.

                       

Z22 = se trouve en changeant les appareils de position et en utilisant la même approche.

L'angle de Z12 n'est pas aussi facile à calculer et nous y reviendrons plus loin.

 

 

5.14 - Détermination expérimentale de l'angle de Z12 et de Z21

Un oscilloscope à deux canaux monté comme l'illustration donnera les valeurs du module et de l'angle de Z12 = Z21 avec une précision suffisante si la chute de tension |VR| est petite par rapport à la valeur |V2|

Bien sur, il faut que ZR soit le moins inductif ou capacitif possible de sorte que VR = RéZRI1 ce qui est actuellement possible si la construction de la résistance est faite avec précaution.

Comme y1(t) = VR(t), que y2(t) = V2(t) et que la source est à une seule fréquence: 
I1 = VR/RéZR
I1(t) = VR(t)/R = y1(t)/R 
|Z12| = |Z21| = (y1max/R)/y2max
et l'angle entre y1(t) et y2(t) est l'angle de Z12 et Z21

Exemple:

Pour ZR = (1 + 0j )W et les graphiques illustrés, le calcul de serait
Z12 = Z21 = 50W @ 30°

 

 

5.15 - Considérations pratiques pour les modèles d'électrotechnique

Les quadripôles qui nous intéressent en électrotechnique ont presque toujours la propriété d'avoir une impédance Zb beaucoup plus grande que Za ou Zc.

Ainsi lors de la détermination de Z11= Za + Zb

La valeur trouvée peut être assignée à Zb puisque V1 @ Vb car Za << Zb

Bien qu'introduisant une erreur dans notre modèle, cette approche simplifie tellement les solutions de nos problèmes que nous l'utiliserons régulièrement lors de nos discussions des machines électriques.

La littérature propose donc un essai en circuit ouvert pour déterminer Zb et on propose de présenter Zb avec deux éléments en parallèles.

À l'étudiant de démontrer que si Va << Vb et si le circuit est inductif  (ce qui est le cas la plupart du temps)

Considérations pratiques pour les modèles d'électrotechnique (suite)

Nos modèles d'électrotechnique servent à représenter des équipements bidirectionnels et les valeurs de Za et Zc sont ordinairement très près l'une de l'autre et petites relativement à Zb.

Supposant que Za = Zc, un essai en court-circuit permettra de déterminer ces valeurs car l'effet de Zb pourra être négligé. Noter que Zc est en parallèle avec Zb et comme Zb >> Zc le courant lu par l'ampèremètre passe surtout dans Zc.

Les valeurs de Za et Zc étant petites, il faut diminuer la tension par rapport à l'essai en circuit ouvert et comme les watts et les vars sur Zb sont proportionnels au carré de la tension, une diminution de la tension(pour l'essai en court-circuit) à 10% de la valeur utilisée dans l'essai à circuit ouvert implique une consommation dans Zb à 1% de ce qui était consommé lors de l'essai à circuit ouvert.

Les impédances Za et Zc sont normalement illustrés au moyen de deux éléments série et sont la plupart du temps inductives. À l'étudiant de démontrer que si Za = Zc et si le circuit est inductif (ce qui est le cas la plupart du temps)

 

5.16 - Exercices

 

E5.1

Détermination des valeurs des impédances d'un quadripôle au moyen d'un oscilloscope.

Premier montage:

sol 5-1a

Deuxième montage:

sol 5-1b

Troisième montage:

Proposer un quadripôle qui sera de la forme:

Transformer le quadripôle pour la forme suivante:

sol 5.1c